Construyendo un rectángulo de oro

Como habrás visto en clase, hay rectángulos en los que si divides su lado mayor por la mitad dan lugar a dos rectángulos semejantes. Un caso particular es el rectángulo áureo, en el que la razón entre el lado mayor y el lado menor da un valor muy concreto: El número aureo.
Construiremos un rectángulo áureo usando la herramienta Geogebra. Puedes hacerlo simultáneamente con un compás, una escuadra y un cartabón.

1.- Dibuja un segmento a partir de dos puntos (lo llamaremos segmento AB).
2.- Dibuja su mediatriz (cortará al segmento AB en el punto medio, C).
3.- Traza una perpendicular al segmento AB por B (recta c)
4.- Con centro en el punto B, dibuja un arco de radio CB, que cortará a la "recta c" en el punto E.
5.- Une los puntos A y E (segmento AE)
6.- Con centro en E y radio EB, traza un arco, que cortará al segmento AE en el punto F.
7.- El segmento AF guarda razón áurea con el primer segmento AB, por lo que, si trazas una perpendicular a AB por A, sólo tendrás que trasladar, mediante una circunferencia de centro A y radio AF, dicho valor a la perpendicular, dando lugar al segmento AH.
8.- Como recordarás, para trazar el rectángulo sólo debes hacer perpendiculares por los puntos adecuados, y las intersecciones darán lugar a los vértices del rectángulo.

Nuestro rectángulo áureo será el formado por los puntos A, B, I y H.

Para comprobar que no te has equivocado, prueba a medir las distancias de los lados del rectángulo y calcular la razón entre el mayor y el menor. ¿Qué valor obtienes?
Traza ahora la mediatriz del lado mayor del rectángulo, dividiéndolo en dos nuevos rectángulos. ¿Cuál es el cociente entre el lado mayor y menor de estos nuevos triángulos?
Busca información sobre el número áureo y comprueba que su valor es el que has obtenido tú.

Ahora dibuja un rectñangulo cualquiera, y haz las mismas divisiones y mediciones. ¿Qué valores obtienes?

Thales medidas son el seno, el coseno y la tangente.

Usando el programa Geogebra, y conociendo resultados sencillos de semajanzas, calculamos el seno, el coseno y la tangente de un ángulo:



Observa en la imágen el valor del ángulo y de las distancias "sen", "cos" y "tg".

¿Por qué se ha elegido una circunferencia de radio 1?
¿Qué ocurriría con los valores del seno y el coseno si al ángulo alfa le sumamos 90 grados? ¿y si le sumamos 180? ¿y 360?

Puedes comprobar estos resultados haciendo esta misma figura en Geogebra, mediante los siguientes pasos:
1.- Dibujar una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1.
2.- Dibujar una recta que pase por el centro de la circunferencia.
3.- Marcar la intersección de dicha recta y de la circunferencia.
4.- Trazar perpendiculares a los ejes de coordenadas por la intersección entre la recta y la circunferencia, y obtener sus puntos de intersección con los ejes.
5.- Trazar una perpendicular al eje OX por el punto de intersección con la circunferencia, que debe ser el punto (1,0), y obtener el punto de intersección con la recta dibujada en el paso 2.
6.- Marcar el ángulo entre el eje OX y la recta del paso 2.

Tras estos pasos habrás conseguido el dibujo deseado. ¿Cuáles son las distancias a considerar para obtener el seno, el coseno y la tangente del ángulo que forma la recta dibujada con el eje OX?
¿Qué ocurre con las distancias cuando el ángulo mide más de 90 grados y menos de 360?
¿y qué ocurre con los valores del seno y el coseno?
¿Podrías comprobar cuál es el valor de la tengente si el ángulo mide 90 grados?

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumple una condición determinada.

Por ejemplo, en un plano, una circunferencia con de radio 1 cm es el lugar geométrico formado por todos los puntos del plano que distan 1 cm del centro de la circunferencia.
Cualquier punto del plano que esté a 1 cm del centro de la circunferencia estará en ella, y cualquier punto de la circunferencia estará, exáctamente, a 1 cm de su centro.

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que están a 1 centímetro o menos de un punto? ¿En qué se diferencia este nuevo lugar geométrico de la circunferencia?

¿Y cuál es, por ejemplo, en un plano, el lugar geométrico de los puntos que están a 1 centímetro de una recta?

En este vídeo (pincha aquí) podrás ver los nombres de otras curvas que definen un lugar geométrico.

Presta atención al vídeo y anota el nombre de las cuatro curvas que aparecen en el vídeo. Anota también alguna propiedad de cada una de ellas. ¿Cómo se denominan, en general, estas curvas?

¿Cuánto tiempo hace que se conocen y estudian las curvas que aparecen en el vídeo?
Averígualo buscando información sobre la vida de Apolonio o Euclides.

Nota: El vídeo que acabas de ver, de la serie "Más por menos" está producido por el programa divulgativo "La aventura del saber", de TVE.

Pitágoras, triángulos y cuadrados

En este enlace (aquí) podrás ver un documental producido por el programa de Televisión Española "La aventura del saber" que nos habla de Pitágoras y del famosísimo teorema que lleva su nombre.

Observa el video y contesta a las siguentes preguntas:

¿Quién ideó el Teorema de Pitágoras?
¿Alguna civilización antigua usaba ya el Teorema de Pitágoras?
¿Cuántas comprobaciones gráficas o demostraciones del Teorema de Pitágoras has observado en el documental?

¿Qué te ha parecido?

El enigma de Diofanto

Diofanto de Alejandría fue un magnífico matemátio griego, que bien pudiera ser, aunque no el único, uno de los "padres del Álgebra".
Aunque parte de su obra está desaparecida, en el libro "Arithmeticorvm" se encuentran numerosos problemas de carácter algebraico.

Este texto se dice que estaba inscrito en la tumba de Diofanto. Léelo detenidamente y escríbelo en lenguaje algebraico:

Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió.
Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años.
De todo esto se deduce su edad.

¿Serías capáz de resolver el enigma y averiguar cuántos años vivió Diofanto?
Busca más información sobre Diofanto. ¿En qué época vivió?
Intenta escribir un enigma parecido para que tus compañeros puedan averiguar los años que tiene alguna persona conocida.